Question

20．设$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$是单位向量，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，则$（\overrightarrow a-\overrightarrow c）•（\overrightarrow b-\overrightarrow c）$的最小值是（　　）

• A． $1-\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}-1$
• C． $1-\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}-1$

Answer 1

分析 由条件便可得到$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）=-|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|cosθ$，θ表示向量（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）和向量$\overrightarrow{c}$的夹角，而由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$可得到$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$，这样便得到$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）$=1-$\sqrt{2}$cosθ，这样即可得出答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$是单位向量，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$，又|$\overrightarrow{c}$|=1，
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）=-（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{c}+1$=-$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|cos＜\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}＞$+1
=$-\sqrt{2}cos＜\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}＞+1$；
∴cos$＜\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}＞$=1时，$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）$的最小值为1-$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 考查数量积的运算及其计算公式，向量垂直的充要条件，向量加法的平行四边形法则，以及向量夹角的概念及范围．