Question

15．如果对定义在R上的函数f（x），对任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＜x₁f（x₂）+x₂f（x₁），则称函数f（x）为“M函数”．
给出下列函数①y=x²；  ②y=e^x+1； ③y=-2x-sin x；④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}\right.$；⑤f（x）=xe^x（x＞-1）．
以上函数是“M函数”的所有序号为③．

Answer 1

分析 根据对新定义的理解得到函数f（x）为定义域R上的减函数；分别对5个函数判断单调性，从而得到答案．

解答 解：由不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＜x₁f（x₂）+x₂f（x₁）得，
x₁[f（x₁）-f（x₂）]+x₂[f（x₂）-f（x₁）]＜0，
即（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
故x₁-x₂与f（x₁）-f（x₂）异号，
所以函数f（x）为定义域R上的减函数；
①y=x²，先减后增； ②y=e^x+1，增函数； 
③y=-2x-sin x，y′=-2-cosx＜0，减函数；
④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}\right.$；当x＞0时，f（x）=lnx是增函数，
⑤f（x）=xe^x（x＞-1），f′（x）=e^x（x+1）＞0，增函数，
故答案为：③

点评 本题考查了新定义问题，考查函数的单调性，是一道中档题．