Question

7．已知$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$为两个垂直的单位向量，$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{b}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$，x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$+z$\overrightarrow{c}$=-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，则下列命题：
①$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$中任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底；
②$\overrightarrow{b}$∥$\overrightarrow{c}$；
③$\overrightarrow{c}$在$\overrightarrow{b}$上的投影为正值；
④若$\overrightarrow{p}$=（x，y），则|$\overrightarrow{p}$|²的最小值为$\frac{3}{4}$．
其中正确的命题是①④（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 由题意可得：$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$-\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$-\frac{1}{2}$），设$\overrightarrow{a}{=λ}_{1}\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b}={λ}_{2}\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c}={λ}_{3}\overrightarrow{a}$，可得无解，从而证明$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$互不共线，故①正确，②错误；由$\overrightarrow{c}$在$\overrightarrow{b}$上的投影为$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$-\frac{1}{2}＜0$可得③错误；由x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$+z$\overrightarrow{c}$=-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，可解得x=$\sqrt{3}$y-$\sqrt{3}$，根据二次函数的性质即可解得|$\overrightarrow{p}$|²=x²+y²的最小值．

解答 解：由题意可得：$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$-\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$-\frac{1}{2}$），
设$\overrightarrow{a}{=λ}_{1}\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b}={λ}_{2}\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c}={λ}_{3}\overrightarrow{a}$，可得：$\left\{\begin{array}{l}{1={-\frac{\sqrt{3}}{2}λ}_{1}}\\{0=-\frac{1}{2}{λ}_{1}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}{λ}_{2}}\\{-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}{λ}_{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}={λ}_{3}}\\{-\frac{1}{2}=0×{λ}_{3}}\end{array}\right.$，均无解，
故$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$互不共线，故①正确，②错误．
由$\overrightarrow{c}$在$\overrightarrow{b}$上的投影为$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$-\frac{1}{2}＜0$可得③错误．
∵x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$+z$\overrightarrow{c}$=-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}z=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{y+z=2}\\{2x=\sqrt{3}（y-z）}\end{array}\right.$，可得：x=$\sqrt{3}$y-$\sqrt{3}$
∴解得若$\overrightarrow{p}$=（x，y），则|$\overrightarrow{p}$|²=x²+y²=（$\sqrt{3}$y-$\sqrt{3}$）²+y²=4y²-6y+3，故解得二次函数的最小值为：$\frac{4×4×3-36}{4×4}=\frac{3}{4}$．故④正确．
故答案为：①④．

点评 本题主要考查了命题的真假判断与应用，平面向量及应用，二次函数的图象和性质，属于基本知识的考查．