Question

17．（1）设0＜a＜1，0＜θ＜$\frac{π}{4}，x={（sinθ）^{{{log}_a}sinθ}}，y={（cosθ）^{{{log}_a}tanθ}}$．则x，y的大小关系为x＜y
（2）已知对x∈R，当b＞0时acosx+bcos2x≥-1恒成立，求（a+b）_max．

Answer 1

分析 （1）结合指数函数的性质采用作差法判断即可；
（2）变形得：acosx+bcos2x+1=2bcos²x+acosx+1-b，令cosx=t，t∈[-1，1]，则当f（t）=2bt²+at+1-b≥0时，t∈[-1，1]恒成立，分b＞1，0＜b≤1两种情况讨论：b＞1时易判断不成立；0＜b≤1时可得f（1）≥0，f（-1）≥0，由此可得|a|≤b+1（*），通过讨论对称轴的范围，结合二次函数的性质求出即可．

解答 解：（1）∵0＜θ＜$\frac{π}{4}，x={（sinθ）^{{{log}_a}sinθ}}，y={（cosθ）^{{{log}_a}tanθ}}$，
∴${log}_{a}^{sinθ}$=${log}_{sinθ}^{x}$，${log}_{a}^{tanθ}$=${log}_{cosθ}^{y}$，
∴x=${a}^{{{（log}_{a}^{sinθ}）}^{2}}$，y=${a}^{{{（log}_{a}^{tanθ}log}_{a}^{cosθ}）}$，
∵${{（log}_{a}^{sinθ}）}^{2}$-${log}_{a}^{tanθ}$•${log}_{a}^{cosθ}$
=${log}_{a}^{sinθ}$•${log}_{a}^{sinθ}$-${log}_{a}^{sinθ}$${log}_{a}^{cosθ}$+${log}_{a}^{cosθ}$•${log}_{a}^{cosθ}$
=${log}_{a}^{sinθ}$•${log}_{a}^{tanθ}$+${{（log}_{a}^{cosθ}）}^{2}$，
∵0＜a＜1，0＜θ＜$\frac{π}{4}$，
∴${log}_{a}^{sinθ}$＞0，${log}_{a}^{tanθ}$＞0，
∴${{（log}_{a}^{sinθ}）}^{2}$＞${log}_{a}^{tanθ}$•${log}_{a}^{cosθ}$，
∴x＜y；
故答案为：x＜y．
（2）由题意知：acosx+bcos2x+1
=acosx+b（2cos²x-1）+1
=2bcos²x+acosx+1-b，
令cosx=t，t∈[-1，1]，则当f（t）=2bt²+at+1-b≥0时，t∈[-1，1]恒成立，
①当b＞1时，f（0）=1-b＜0，不满足f（t）=2bt²+at+1-b≥0，t∈[-1，1]恒成立；
②当0＜b≤1时，则必有$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a+b+1≥0}\\{f（-1）=b-a+1≥0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{a≥-（b+1）}\\{a≤b+1}\end{array}\right.$⇒|a|≤b+1（*），
（i）当对称轴t=-$\frac{a}{4b}$∉[-1，1]时，即|$\frac{a}{4b}$|≥1，也即|a|≥4b时，有4b≤|a|≤b+1，
则b≤$\frac{1}{3}$，则|a|≤b+1≤$\frac{4}{3}$，则a+b≤$\frac{5}{3}$，
当a=$\frac{4}{3}$，b=$\frac{1}{3}$时，（a+b）_max=$\frac{5}{3}$；
（ii）当对称轴t=-$\frac{a}{4b}$∈[-1，1]时，即|$\frac{a}{4b}$|≤1，也即|a|≤4b时，
则必有△=a²-8b（1-b）≤0，即a²≤8b（1-b）=8b-8b²，
又由（*）知a²≤（b+1）²，
则由于（b+1）²-（8b-8b²）=9b²-6b+1=（3b-1）²≥0，
故只需a²≤8b-8b²成立即可，问题转化为a²≤8b-8b²成立的条件下，求a+b的最大值，
把条件配方得：$\frac{{a}^{2}}{2}$+4${（b-\frac{1}{2}）}^{2}$≤1，
令$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}rcosθ}\\{b=\frac{1+rsinθ}{2}}\end{array}\right.$，（0≤r≤1），
∴a+b=$\sqrt{2}$cosθ+$\frac{rsinθ}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$rsin（θ+φ）+$\frac{1}{2}$≤$\frac{3r}{2}$+$\frac{1}{2}$≤2，
∴（a+b）_max=2．

点评 本题考查两角和与差的三角函数、正弦函数的值域、函数在闭区间上的最值及恒成立问题，考查分类讨论思想，考查三角换元法求函数的最值，综合性强，能力要求高．