Question

7．已知a_n=$\frac{4{n}^{2}+k}{2n+1}$，{a_n}为等差数列．
（1）求k的值及{2^a_n}的前n项和S_n；
（2）记b_n=$\frac{n{a}_{n}{a}_{n+1}+2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过化简可知a_n=2n-1+$\frac{k+1}{2n+1}$，进而可知k=-1，通过$\frac{{2}^{{a}_{n+1}}}{{2}^{{a}_{n}}}$可知数列{${2}^{{a}_{n}}$}是公比为4的等比数列，进而计算可得结论；
（2）通过化简、裂项可知b_n=n+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），并项相加即得结论．

解答 解：（1）a_n=$\frac{4{n}^{2}+k}{2n+1}$=$\frac{4{n}^{2}-1+k+1}{2n+1}$=2n-1+$\frac{k+1}{2n+1}$，
∵{a_n}为等差数列，
∴k+1=0，即k=-1，
∴a_n=$\frac{4{n}^{2}-1}{2n+1}$=2n-1，
∵${2}^{{a}_{n}}$=2^2n-1，
∴$\frac{{2}^{{a}_{n+1}}}{{2}^{{a}_{n}}}$=$\frac{{2}^{2n+1}}{{2}^{2n-1}}$=4，
即数列{${2}^{{a}_{n}}$}是公比为4的等比数列，且${2}^{{a}_{1}}$=2，
∴S_n=$\frac{2（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{2}{3}$•4ⁿ-$\frac{2}{3}$；
（2）∵a_n=2n-1，
∴b_n=$\frac{n{a}_{n}{a}_{n+1}+2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=n+$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$
=n+$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$
=n+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=[1+（1-$\frac{1}{3}$）]+[2+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）]+…+[n+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]
=（1+2+…+n）+[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]
=$\frac{n（n+1）}{2}$+1-$\frac{1}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．