Question

5．已知O为坐标原点，双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线l：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$与双曲线的一条渐近线交于点A，且△OAF的面积为$\frac{{a}^{2}}{2}$，则该双曲线的两条渐近线的夹角大小为90°．

Answer 1

分析 据条件设出点A 的坐标，利用△OAF的面积（O为原点），找出a与b的关系，得到渐近线的斜率，进而得到倾斜角，从而得到结果．

解答 解：双曲线的渐近线方程是：y=±$\frac{b}{a}$x，右准线方程为x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
∵右准线与一条渐近线交于点A，
可设点A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
∵△OAF的面积为$\frac{{a}^{2}}{2}$，（O为原点），
∴$\frac{1}{2}$c•$\frac{ab}{c}$=$\frac{{a}^{2}}{2}$，∴$\frac{b}{a}$=1，
∴渐近线的斜率分别为1和-1，
∴两条渐近线的倾斜角分别为45°，135°，
∴该双曲线的两条渐近线的夹角为90°．
故答案为：90°．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查直线的斜率和两直线的夹角问题，考查三角形的面积计算，属于中档题．