Question

8．（理科）在等比数列{a_n}中，a₁+a₇=65，a₃a₅=64，且a_n+1＜a_n，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若T_n=lga₂+lga₄+…+lga_2n，求T_n的最大值及此时n的值．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列性质可知a₁a₇=a₃a₅=64，进而可知a₁=64、a₇=1，由此能求出数列{a_n}的通项公式；
（2）通过a_n=2^7-n可知a_2n=2^7-2n，利用对数的性质计算可知T_n=[-（n-3）²+9]lg2，通过配方即得结论．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公比为q．
由等比数列性质可知：a₁a₇=a₃a₅=64，
又∵a₁+a₇=65，a_n+1＜a_n，
∴a₁=64，a₇=1，
∵64q⁶=1，
∴q=$\frac{1}{2}$或q=-$\frac{1}{2}$（舍），
∴a_n=64•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=2^7-n；
（2）∵a_n=2^7-n，
∴a_2n=2^7-2n，
∴T_n=lga₂+lga₄+…+lga_2n
=lg（a₂•a₄•…•a_2n）
=lg2^{5+3+1+…+（7-2n）}
=lg${2}^{6n-{n}^{2}}$
=（6n-n²）lg2
=[-（n-3）²+9]lg2，
∴当n=3时，T_n的最大值为9lg2．

点评 本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，解题时要认真审题、仔细解答，注意解题方法的积累，属于中档题．