Question

19．设实数a，b，c≠0，$\frac{bc}{a}，\frac{ca}{b}，\frac{ab}{c}$成等差数列，则下列不等式一定成立的是（　　）

• A． |b|≤|ac|
• B． |b|≥$\sqrt{\frac{|a|+|c|}{2}}$
• C． |b|≥$\sqrt{\frac{{{{|a|}^2}+{{|c|}^2}}}{2}}$
• D． |b|≤$\frac{|a|+|c|}{2}$

Answer 1

分析 利用等差数列的性质和基本不等式即可得出．

解答 解：∵实数abc≠0，$\frac{bc}{a}，\frac{ca}{b}，\frac{ab}{c}$成等差数列，∴$\frac{2ac}{b}$=$\frac{bc}{a}$+$\frac{ab}{c}$，
化为2a²c²=b²c²+a²b²≥2$\sqrt{{{{b}^{4}a}^{2}c}^{2}}$，当且仅当|a|=|c|取等号．
∴|ac|≥b²．故A错误，
又|ac|≤${（\frac{|a|+|c|}{2}）}^{2}$，∴${（\frac{|a|+|c|}{2}）}^{2}$≥b²．
∴$\frac{|a|+|c|}{2}$≥|b|，故B、C错误，D正确；
故选：D．

点评 本题考查了等差数列的性质和基本不等式的性质，属于基础题