Question

8．已知抛物线y²=4x与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得c，根据AF⊥x轴，可判断出|AF|的值和A的坐标，代入双曲线方程，求得离心率e．

解答 解：∵抛物线y²=4x的焦点（1，0）和双曲线的焦点相同，
∴c=1，
∵A是它们的一个公共点，且AF垂直于x轴，
设A点的纵坐标大于0，
∴|AF|=2，
∴A（1，2），
∵点A在双曲线上，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}-\frac{4}{{b}^{2}}=1$，
∵c=1，b²=c²-a²，
∴a=$\sqrt{2}$-1，
∴e=$\frac{c}{a}$=1+$\sqrt{2}$，
故答案为：1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的问题，属于中档题．