Question

3．关于x的不等式|sinx|+$\sqrt{3}$|cosx|＜$\sqrt{3}$的解集为（kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{2π}{3}$），k∈Z．

Answer 1

分析 对角x的终边分类去绝对值，然后利用辅助角公式化积，结合三角函数线求解三角不等式．

解答 解：当x的终边落在x轴上时，不等式不成立；
当x的终边落在y轴上时，不等式显然成立；
当x的终边落在第一象限时，原不等式化为sinx+$\sqrt{3}$cosx＜$\sqrt{3}$，即2sin（x+$\frac{π}{3}$）$＜\sqrt{3}$，
∴$sin（x+\frac{π}{3}）＜\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：$2kπ+\frac{π}{3}＜x＜2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$；
当x的终边落在第二象限时，原不等式化为sinx-$\sqrt{3}$cosx＜$\sqrt{3}$，即2sin（x-$\frac{π}{3}$）$＜\sqrt{3}$，
∴$sin（x-\frac{π}{3}）＜\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：$2kπ+\frac{π}{2}＜x＜2kπ+\frac{2π}{3}，k∈Z$；
当x的终边落在第三象限时，原不等式化为-sinx-$\sqrt{3}$cosx＜$\sqrt{3}$，即-2sin（x+$\frac{π}{3}$）$＜\sqrt{3}$，
∴$sin（x+\frac{π}{3}）＞-\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：$2kπ+π+\frac{π}{3}＜x＜2kπ+π+\frac{π}{2}，k∈Z$；
当x的终边落在第四象限时，原不等式化为-sinx+$\sqrt{3}$cosx＜$\sqrt{3}$，即-2sin（x-$\frac{π}{3}$）$＜\sqrt{3}$，
∴sin（x-$\frac{π}{3}$）＞$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：$2kπ+π+\frac{π}{2}＜x＜2kπ+π+\frac{2π}{3}，k∈Z$．
综上，原不等式的解集为：（kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{2π}{3}$），k∈Z．
故答案为：（kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{2π}{3}$），k∈Z．

点评 本题考查三角恒等变换及其应用，考查了三角不等式的解法，关键是熟练掌握辅助角公式及三角函数线的应用，是中档题．