Question

13．在距A城市45千米的B地发现金属矿，过A有一直线铁路AD．欲运物资于A，B之间，拟在铁路线AD间的某一点C处筑一公路到B． 现测得BD=27$\sqrt{2}$千米，∠BDA=45°（如图）．已知公路运费是铁路运费的2倍，设铁路运费为每千米1个单位，总运费为y．为了求总运费y的最小值，现提供两种方案：方案一：设AC=x千米；方案二设∠BCD=θ．
（1）试将y分别表示为x、θ的函数关系式y=f（x）、y=g（θ）；
（2）请选择一种方案，求出总运费y的最小值，并指出C点的位置．

Answer 1

分析 解：（1）在△ABD中，由余弦定理可解得：AD=63，方案一：在△ABC中利用余弦定理可得BC²=x²+45²-2x×45×cosA整理即可得解．方案二：在△BCD中，由正弦定理可得BC=$\frac{27}{sinθ}$，CD=$\frac{27（sinθ+cosθ）}{sinθ}$，利用g（θ）=AC•1+BC•2=AD-CD+2BC即可得解．
（2）若用方案一，由y=x+2$\sqrt{{x}^{2}-72x+4{5}^{2}}$，可得3x²+2（y-144）x-y²+8100=0．由△≥0即可解得y的最小值．若用方案二，则可求y′=27$\frac{1-2cosθ}{si{n}^{2}θ}$，由g（θ）在（0，$\frac{π}{3}$）单调递减，在（$\frac{π}{3}$，π）单调递增，可得y_min=36+27$\frac{2-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=36+27$\sqrt{3}$，从而得解．

解答 解：（1）在△ABD中，由余弦定理可得：AB²=BD²+AD²-2BD•AD•cos∠BDA，即：45²=（27$\sqrt{2}$）²+AD²-2×$27\sqrt{2}×AD×cos45°$，
解得：AD=63；…（2分）
方案一：在△ABC中，BC²=x²+45²-2x×45×cosA=x²+45²-72x=（x-36）²+27²，
∴f（x）=AC+2BC=x+2$\sqrt{（x-36）^{2}+2{7}^{2}}$，…（5分）
方案二：在△BCD中，BC=$\frac{27\sqrt{2}sin45°}{sinθ}$=$\frac{27}{sinθ}$，CD=$\frac{27\sqrt{2}sin（θ+45°）}{sinθ}=\frac{27（sinθ+cosθ）}{sinθ}$，
g（θ）=AC•1+BC•2=AD-CD+2BC=63+27（$\frac{2}{sinθ}-\frac{sinθ+cosθ}{sinθ}$）=36+27$\frac{2-cosθ}{sinθ}$． …（9分）
（2）若用方案一，则y=x+2$\sqrt{{x}^{2}-72x+4{5}^{2}}$
⇒（y-x）²=4（x²-72x+45²）
⇒3x²+2（y-144）x-y²+8100=0．…（11分）
由△≥0得（y-144）²+3（y²-8100）≥0，
⇒y²-72y-891≥0
⇒y≥36+27$\sqrt{3}$．
…（14分）
∴y_min=36+27$\sqrt{3}$，这时x=$\frac{144-y}{3}=36-9\sqrt{3}$，C距A地36-9$\sqrt{3}$千米．…（16分）
若用方案二，则y′=27$\frac{si{n}^{2}θ-（2-cosθ）cosθ}{si{n}^{2}θ}$=27$\frac{1-2cosθ}{si{n}^{2}θ}$，…（11分）
g（θ）在（0，$\frac{π}{3}$）单调递减，在（$\frac{π}{3}$，π）单调递增．
∴y_min=36+27$\frac{2-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=36+27$\sqrt{3}$．…（14分）
这时$θ=\frac{π}{3}$，C距A地36-9$\sqrt{3}$千米．…（16分）

点评 本题主要考查了余弦定理的应用，不等式的解法，导数的概念及应用，三角函数的图象和性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．