Question

10．判断此函数是否为周期函数．
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈有理数}\\{0，x∈无理数}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根据f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈有理数}\\{0，x∈无理数}\end{array}\right.$，易得对于任意的有理数T，都有f（x+T）=f（x），即函数是周期为任意非0有理数的周期函数．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈有理数}\\{0，x∈无理数}\end{array}\right.$．
对于任意的有理数T，当x为有理数时，x+T必为有理数，此时f（x+T）=f（x）=1；
当x为无理数时，x+T必为无理数，此时f（x+T）=f（x）=0；
即函数是周期为任意非0有理数的周期函数．

点评 本题考查的知识点是函数的周期性，熟练掌握并真正理解周期函数的概念是解答的关键．