Question

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中点，若E是AB的中点，P是△ABC（包括边界）内任一点．则$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{EP}$的取值范围是（　　）

• A． [-6，6]
• B． [-9，9]
• C． [0，8]
• D． [-2，6]

Answer 1

分析 首先，分别以CA，CB二直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，从而可求出图形上各点的坐标，可设P（x，y），根据条件知P点在△ABC内部及其边界上．这样即可求出$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{EP}=-4x+y+7$，设z=-4x+y+7，从而y=4x+z-7，通过求该直线在y轴上的截距z-7的最大、最小值，便可求出z的最大、最小值，从而得出$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{EP}$的取值范围．

解答 解：如图，以边CA，CB所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则：
A（4，0），B（0，2），D（0，1），E（2，1）；
设P（x，y），P点在△ABC内部包括边界，则：
$\overrightarrow{AD}=（-4，1），\overrightarrow{EP}=（x-2，y-1）$；
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{EP}=-4（x-2）+y-1=-4x+y+7$；
设z=-4x+y+7，则y=4x+z-7，该式表示斜率为4，在y轴上的截距为z-7的直线；
由图形看出当直线y=4x+z-7过点B时，z-7取最大值2，∴z取最大值9；
当该直线过点A时，z-7取最小值-16，∴z取最小值-9；
∴z的范围，即$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{EP}$的范围为[-9，9]．
故选：B．

点评 考查建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决数量积问题的方法，数量积的坐标运算，以及线性规划的方法求变量的范围．