Question

11．关于x的不等式ax²+bx+2＞0的解为$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{3}）$．
（1）求a，b的值；
（2）求关于x的不等式$\frac{ax+b}{x-2}$≥0的解集．

Answer 1

分析 （1）由题意知：x=-$\frac{1}{2}$，x=$\frac{1}{3}$是方程ax²+bx+2=0的两根，由韦达定理可解得系数a，b的值．
（2）根据分式不等式的解法进行求解即可．

解答 解：（1）∵x的不等式ax²+bx+2＞0的解为$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{3}）$．
∴x=-$\frac{1}{2}$，x=$\frac{1}{3}$是方程ax²+bx+2=0的两根，且a＜0，
由韦达定理可得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=-\frac{b}{a}}\\{-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{2}{a}}\end{array}\right.$，解得a=-12，b=-2．
（2）∵a=-12，b=-2．
∴不等式$\frac{ax+b}{x-2}$≥0等价为$\frac{-12x-2}{x-2}≥0$，
即$\frac{6x+1}{x-2}≤0$，
解得-$\frac{1}{6}$≤x＜2，
即不等式的解集为[-$\frac{1}{6}$，2）．

点评 本题考查了一元二次不等式以及分式不等式的解法，考查了一元二次方程的根与系数关系，比较基础．