Question

3．已知x，y均为正数，θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），且满足$\frac{sinθ}{x}$=$\frac{cosθ}{y}$，$\frac{co{s}^{2}θ}{{x}^{2}}$+$\frac{si{n}^{2}θ}{{y}^{2}}$=$\frac{10}{3（{x}^{2}+{y}^{2}）}$，则$\frac{x}{y}$=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{3\sqrt{10}}{10}$
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 由$\frac{co{s}^{2}θ}{{x}^{2}}$+$\frac{si{n}^{2}θ}{{y}^{2}}$=$\frac{10}{3（{x}^{2}+{y}^{2}）}$，两边同乘以x²+y²得到$（\frac{y}{x}cosθ）^{2}+（\frac{x}{y}sinθ）^{2}$=$\frac{7}{3}$；把$\frac{sinθ}{x}$=$\frac{cosθ}{y}$代入上式得${（\frac{co{s}^{2}θ}{sinθ}）}^{2}+{（\frac{si{n}^{2}θ}{cosθ}）}^{2}$=$\frac{7}{3}$，再将四个答案逐一代入判断，可得答案．

解答 解：∵θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），
∴tanθ＞1，
∵$\frac{sinθ}{x}$=$\frac{cosθ}{y}$，
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{sinθ}{cosθ}$=tanθ＞1，
故可排除A，C，
又由$\frac{co{s}^{2}θ}{{x}^{2}}$+$\frac{si{n}^{2}θ}{{y}^{2}}$=$\frac{10}{3（{x}^{2}+{y}^{2}）}$，
两边同乘以x²+y²得到$（\frac{y}{x}cosθ）^{2}+（\frac{x}{y}sinθ）^{2}$=$\frac{7}{3}$；
把$\frac{sinθ}{x}$=$\frac{cosθ}{y}$代入上式得${（\frac{co{s}^{2}θ}{sinθ}）}^{2}+{（\frac{si{n}^{2}θ}{cosθ}）}^{2}$=$\frac{7}{3}$，
当$\frac{x}{y}$=$\frac{sinθ}{cosθ}$=tanθ=$\sqrt{3}$时，sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosθ=$\frac{1}{2}$，
代入${（\frac{co{s}^{2}θ}{sinθ}）}^{2}+{（\frac{si{n}^{2}θ}{cosθ}）}^{2}$=$\frac{7}{3}$满足条件，
故B正确，D错误；
故选：B．

点评 本题考查的知识点是三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系，难度较大，属于难题．