Question

20．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-alnx+b．（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x-y-3=0，求实数a、b的值；
（2）若x=1是函数f（x）的极值点，求实数a的值；
（3）若-3≤a＜0，且对任意x₁，x₂∈（0，t]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4|$\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}$|，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x-y-3=0，即可求实数a、b的值；
（2）若x=1是函数f（x）的极值点，f′（1）=1-a=0，即可求实数a的值；
（3））-3≤a＜0，f′（x）=x-$\frac{a}{x}$＞0，函数在（0，t]上单调递增，不妨设0＜x₁≤x₂≤1，则|f（x₁）-f（x₂）|≤4|$\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}$|，可化为f（x₂）+$\frac{4}{{x}_{2}}$≤f（x₁）+$\frac{4}{{x}_{1}}$，设h（x）=f（x）+$\frac{4}{x}$=$\frac{1}{2}{x^2}$-alnx+b+$\frac{4}{x}$，则h（x）在（0，t]上是减函数，进一步等价于x³-ax-4≤0在（0，t]上恒成立，即可求实数t的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-alnx+b，
∴f′（x）=x-$\frac{a}{x}$，
∵曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x-y-3=0，
∴1-a=3，f（1）=0
∴a=-2，$\frac{1}{2}$+b=0，
∴a=-2，b=-$\frac{1}{2}$；
（2）∵x=1是函数f（x）的极值点，
∴f′（1）=1-a=0，
∴a=1；
（3）-3≤a＜0，f′（x）=x-$\frac{a}{x}$＞0，函数在（0，t]上单调递增
不妨设0＜x₁≤x₂≤1，则|f（x₁）-f（x₂）|≤4|$\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}$|，可化为f（x₂）+$\frac{4}{{x}_{2}}$≤f（x₁）+$\frac{4}{{x}_{1}}$
设h（x）=f（x）+$\frac{4}{x}$=$\frac{1}{2}{x^2}$-alnx+b+$\frac{4}{x}$，
则h（x）在（0，t]上是减函数．
又h′（x）=x-$\frac{a}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$，
∴等价于x³-ax-4≤0在（0，t]上恒成立
设g（x）=x³-ax-4，则g′（x）=3x²-a＞0，
∴t³-at-4≤0，
∵-3≤a＜0，
∴t³+3t-4≤0，
∵t＞0，∴t≤1．

点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属难题．