Question

5．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的一段图象如图．
（1）求出这个函数的解析式．
（2）求出图象的对称中心及单调增区间．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由条件利用正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，求得函数图象的对称中心及函数的单调增区间．

解答 解：（1）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象易知A=$2\sqrt{2}$，$\frac{T}{4}$=6-2=4．
∴T=16，∴$\frac{2π}{ω}$=16，∴ω=$\frac{π}{8}$．
又图象过点（2，$2\sqrt{2}$），∴2$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{8}$×2+φ）=2$\sqrt{2}$，∴$\frac{π}{8}$×2+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{4}$，于是 y=2$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$）．
（2）由于函数的周期为16，结合图象可得一个对称中心为（6，0），故函数的图象的对称中心的坐标为（8k+6，0）（k∈Z）．
由函数的图象以及函数的周期性可得函数的单调增区间[-6+16k，2+16k]，k∈Z．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标法作图求出φ的值，正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，属于基础题．