Question

18．对于函数f₁（x），f₂（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），那么称h（x）为f₁（x），f₂（x）的生成函数．
（1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f₁（x），f₂（x）的生成函数？并说明理由；
第一组：${f_1}（x）=sinx，\;\;{f_2}（x）=cosx，\;\;h（x）=sin（x+\frac{π}{3}）$；
第二组：${f_1}（x）={x^2}-x\;，\;{f_2}（x）={x^2}+x+1\;，\;\;h（x）={x^2}-x+1$；
（2）设${f_1}（x）={log_2}x，{f_2}（x）={log_{\frac{1}{2}}}x，a=2，b=1$，生成函数h（x）．若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用生成函数的定义，判断h（x）是否分别为f₁（x），f₂（x）的生成函数，从而得出结论．
（2）由题意可得不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，等价于$t＜-3{h^2}（x）-2h（x）=-3log_2^2x-2{log_2}x$ 在[2，4]上有解．令s=log₂x，则s∈[1，2]，由$y=-3log_2^2x-2{log_2}x=-3{s^2}-2s$，求得y的最小值，可得t的范围．

解答 解：（1）①设$asinx+bcosx=sin（x+\frac{π}{3}）$，即$asinx+bcosx=\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx$，
取$a=\frac{1}{2}，\;\;b=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所以h（x）是f₁（x），f₂（x）的生成函数．
②设a（x²-x）+b（x²+x+1）=x²-x+1，即（a+b）x²-（a-b）x+b=x²-x+1，
则$\left\{\begin{array}{l}a+b=1\\-a+b=-1\\ b=1\end{array}\right.$，该方程组无解．所以h（x）不是f₁（x），f₂（x）的生成函数．
（2）因为${f_1}（x）={log_2}x，{f_2}（x）={log_{\frac{1}{2}}}x，a=2，b=1$，
所以 $h（x）=2{f_1}（x）+{f_2}（x）=2{log_2}x+{log_{\frac{1}{2}}}x={log_2}x$，
不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，
等价于$t＜-3{h^2}（x）-2h（x）=-3log_2^2x-2{log_2}x$ 在[2，4]上有解，
令s=log₂x，则s∈[1，2]，由$y=-3log_2^2x-2{log_2}x=-3{s^2}-2s$，
知y取得最小值-5，所以t＜-5．

点评 本题主要考查新定义，两角和差的正弦函数，属于中档题．