Question

7．已知a=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\frac{cosx}{2}$dx，则（ax-$\frac{1}{2ax}$）⁹的展开式中，关于x的一次项的系数为（　　）

• A． $\frac{63}{16}$
• B． -$\frac{63}{16}$
• C． $\frac{63}{8}$
• D． -$\frac{63}{8}$

Answer 1

分析 根据定积分求出a的值，再利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中关于x的一次项系数即可．

解答 解：∵a=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\frac{cosx}{2}$dx=$\frac{1}{2}$${sinx|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=$\frac{1}{2}$（sin$\frac{π}{2}$-sin0）=$\frac{1}{2}$，
∴（ax-$\frac{1}{2ax}$）⁹=${（\frac{x}{2}-\frac{1}{x}）}^{9}$，
其展开式中，通项公式为
T_r+1=${C}_{9}^{r}$•${（\frac{x}{2}）}^{9-r}$•${（-\frac{1}{x}）}^{r}$=（-1）^r•${C}_{9}^{r}$•${（\frac{1}{2}）}^{9-r}$•x^9-2r；
令9-2r=1，解得r=4；
∴T₄₊₁=${C}_{9}^{4}$•${（\frac{1}{2}）}^{5}$x=$\frac{63}{16}$x，
即展开式中关于x的一次项系数为$\frac{63}{16}$．

点评 本题考查了定积分的计算问题，也考查了二项式定理的应用问题，是基础题目．