Question

2．已知f（x）=a•2^x+x²+bx，若{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}≠∅，则a+b的取值范围是（　　）

• A． [0，1）
• B． [-1，4]
• C． [0，4）
• D． [-1，3]

Answer 1

分析 由已知中{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}≠∅，可得a=0，进而f（x）=x²+bx，f（x）=-b无解，或f（x）=-b的解为0或-b，求出b的范围后，可得答案．

解答 解：令t=f（x），
由{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}可得：t=0时，f（t）=f（0）=a=0，
故f（x）=x²+bx，
则{x|f（x）=0}={0，-b}，
当f（f（x））=0时，f（x）=0或f（x）=-b，
由{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}，
可得f（x）=-b无解，或f（x）=-b的解为0或-b，
当x²+bx=-b无解时，△=b²-4b＜0，解得：0＜b＜4，
若f（x）=-b的解为0或-b，则b=0，
故0≤b＜4，
故a+b的取值范围是[0，4），
故选：C

点评 本题考查的知识点是集合的相等，解答的关键是由已知分析出a=0，进而得到f（x）=x²+bx，f（x）=-b无解，或f（x）=-b的解为0或-b．