Question

在R上定义运算⊕：x?y=x（1-y）若对任意x＞2，不等式（x-a）?x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．[-1，7]

B．（-∞，3]

C．（-∞，7]

D．（-∞，-1]∪[7，+∞）

Answer 1

分析：由x?y=x（1-y），把（x-a）?x≤a+2转化为（x-a）（1-x）≤a+2，由任意x＞2，不等式（x-a）?x≤a+2都成立，知a≤

x2-x+2

x-2

．令f（x）=

x2-x+2

x-2

，x＞2，则a≤[f（x）]_min，x＜2．由此能求出结果．

解答：解：∵x?y=x（1-y），
∴（x-a）?x≤a+2转化为（x-a）（1-x）≤a+2，
∴-x²+x+ax-a≤a+2，
a（x-2）≤x²-x+2，
∵任意x＞2，不等式（x-a）?x≤a+2都成立，
∴a≤

x2-x+2

x-2

．
令f（x）=

x2-x+2

x-2

，x＞2，
则a≤[f（x）]_min，x＜2
而f（x）=

x2-x+2

x-2

=

(x-2)2+3(x-2)+4

x-2

=（x-2）+

4

x-2

+3
≥2

(x-2)• 4 x-2

+3=7，
当且仅当x=4时，取最小值．
∴a≤7．
故选C．

点评：本题考查了在新定义下对函数恒成立问题的应用．关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题．