Question

已知点F（-c，0）（c＞0）是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左焦点，离心率为e，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x²+y²=c²交于点P，且点P在抛物线y²=3cx上，则e²=（　　）

• A、

  13 -1

  3

• B、

  5

• C、

  1+ 5

  2

• D、

  13 +1

  3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质、相似三角形的性质即可得出．

解答： 解：如图，设抛物线y²=3cx的准线为l，作PQ⊥l于Q，
设双曲线的右焦点为F′，P（x，y）．
由题意可知FF′为圆x²+y²=c²的直径，
∴PF′⊥PF，且tan∠PFF′=

b

a

，|FF′|=2C，
满足

y2=3cx       ① x2+y2=c2    ② y x+c = b a

将①代入②得x²+3cx-c²=0，
解得，x=

-3c± 13 c

2

，
即，x=

13 -3

2

c，负值舍去）
代入第三个方程

y

x+c

=

b

a

，即y=

bc

a

•

13 -1

2

再将y代入①得，

b2

a2

=

6( 13 -3)

( 13 -1)2

=e2-1
化简得，e=

13 +1

3

．
故选：D．

点评：本题考查双曲线的性质，掌握抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质是解题的关键．