Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若a=1，且2cosC+c=2b，则△ABC的周长的取值范围是（　　）

• A、（1，3]
• B、[2，4]
• C、（2，3]
• D、[3，5]

Answer 1

考点：余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：由余弦定理求得 cosC，代入已知等式可得（b+c）²-1=3bc，利用基本不等式求得 b+c≤2，故a+b+c≤3．再由三角形任意两边之和大于第三边求得a+b+c＞2，由此求得△ABC的周长的取值范围．

解答： 解：△ABC中，由余弦定理可得：2cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
∵a=1，2cosC+c=2b，
∴

1+b2-c2

b

+c=2b，化简可得：（b+c）²-1=3bc，
∵bc≤（

b+c

2

）²，
∴（b+c）²-1≤3×（

b+c

2

）²，
解得：b+c≤2（当且仅当b=c时，取等号）．
∴a+b+c≤3，
再由任意两边之和大于第三边可得：b+c＞a=1，
故有a+b+c＞2，
则△ABC的周长的取值范围是（2，3]，
故选：C．

点评：此题考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．