Question

7．已知在△ABC中，cosA=-$\frac{5}{13}$，cosB=$\frac{3}{5}$．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）设△ABC的面积S_△ABC=$\frac{32}{5}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意和平方关系求出sinA、sinB，由诱导公式、两角和的正弦公式、内角和定理求出sinC；
（Ⅱ）根据题意和三角形的面积公式、正弦定理列出方程，化简后求出边AC和AB的值．

解答 解：（Ⅰ）因为0＜A＜π，cosA=$-\frac{5}{13}$，
所以sinA=$\sqrt{1-{cos}^{2}A}$=$\frac{12}{13}$，
因为0＜B＜π，cosB=$\frac{3}{5}$，所以sinB=$\sqrt{1-{cos}^{2}B}$=$\frac{4}{5}$，
所以sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）
=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{12}{13}$×$\frac{3}{5}$+（$-\frac{5}{13}$）×$\frac{4}{5}$=$\frac{16}{65}$；…（6分）
（Ⅱ）由S_△ABC=$\frac{32}{5}$得，$\frac{1}{2}AC•BC•sinC$=$\frac{32}{5}$，所以AC•BC=52，
由正弦定理得，$\frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$，
所以AC=$\frac{BC•sinB}{sinA}$=BC•$\frac{13}{15}$=$\frac{52}{AC}•\frac{13}{15}$，解得AC=$\frac{26}{\sqrt{15}}$，
则AB=$\frac{AC•sinC}{sinB}$=$\frac{\frac{26}{\sqrt{15}}•\frac{16}{65}}{\frac{4}{5}}$=$\frac{8\sqrt{15}}{15}$    …（12分）．

点评 本题考查正弦定理，三角形的面积公式，以及平方关系、两角和的正弦公式等，注意内角的范围，属于中档题．