Question

2．已知下列四个结论：
①函数y=|sin（x+$\frac{π}{6}$）|是偶函数；
②函数y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象的一条对称轴为x=$\frac{5}{12}$π；
③函数y=tan2x的图象的一个对称中心为（$\frac{π}{4}$，0）；
④若A+B=$\frac{π}{4}$，则（1+tanA）（1+tanB）=2．
其中正确的结论序号为②③④（把所有正确结论的序号都写上）．

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数、正切函数的图象和性质判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：①∵函数y=f（x）=|sin（x+$\frac{π}{6}$）|=|$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx|，
∴f（-x）=|sin（-x+$\frac{π}{6}$）|=|$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx|≠f（x），故不是偶函数，故①错误；
②令2x-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，可得函数y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象的一条对称轴为x=$\frac{5}{12}$π，故②正确；
③令2x=$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，求得x=$\frac{kπ}{4}$，可得函数函数y=tan2x的图象的一个对称中心是（$\frac{π}{4}$，0），故③正确；
④若A+B=$\frac{π}{4}$，则tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=1，即 tanA+tanB=1-tanAtanB，
∴（1+tanA）（1+tanB）=1+tanA+tanB+tanAtanB=2，故④正确，
故答案为：②③④．

点评 本题主要考查正弦函数、正切函数的图象和性质，属于基础题．