Question

6．已知函数f（x）=$\frac{2x-5}{x-3}$的值域为[-4，2）∪（2，3]，它的定义域为A，B={x|（x-a-2）（x-a-3）＜0}，若A∩B=∅，求a的取值范围．

Answer 1

分析 根据函数的定义域和值域进行求解即可．

解答 解：f（x）=$\frac{2x-5}{x-3}$=2+$\frac{1}{x-3}$，
∵函数的值域是[-4，2）∪（2，3]，
∴由f（x）=-4得x=$\frac{17}{6}$，由f（x）=3得x=4，
∵函数f（x）在（3，+∞）和（-∞，3）上分别递增，
∴由函数的值域得函数的定义域为A=（-∞，$\frac{17}{6}$]∪[4，+∞），
B={x|（x-a-2）（x-a-3）＜0}={x|a+2＜x＜a+3}，
若A∩B=∅，
则$\left\{\begin{array}{l}{a+2≥\frac{17}{6}}\\{a+3≤4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≥\frac{5}{6}}\\{a≤1}\end{array}\right.$，即$\frac{5}{6}$≤a≤1，

点评 本题主要考查函数值域和定义域的关系以及集合的基本运算，根据分式函数的性质求出函数的定义域是解决本题的关键．