Question

14．在下列结论中，错用均值不等式作依据的是（　　）

• A． x，y，z∈R⁺，则$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{z}$+$\frac{z}{x}$≥3
• B． $\frac{{x}^{2}+2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≥2
• C． 若a，b∈R，则$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=2
• D． a∈R⁺，（1+a）（1+$\frac{1}{a}$）≥4

Answer 1

分析 直接利用基本不等式成立的条件，判断选项即可．

解答 解：x，y，z∈R⁺，则$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{z}$+$\frac{z}{x}$≥3•$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{y}{z}•\frac{z}{x}}$=3，当且仅当x=y=z时取等号，正确．
$\frac{{x}^{2}+2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≥2，当且仅当x=0时，表达式取得最小值．正确；
若a，b∈R，则$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=2，显然不成立，如果a•b＜0，不能利用基本不等式求解最小值，所以选项C错误．
a∈R⁺，（1+a）（1+$\frac{1}{a}$）=2+a+$\frac{1}{a}$≥2+2=4，当且仅当a=1时，取等号，所以D正确．
故选：C．

点评 本题考查基本不等式成立的条件的应用，是基础题．