Question

19．设S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=-1，a_n+1=S_nS_n+1，则S₂₀₁₆=（　　）

• A． -$\frac{1}{2016}$
• B． $\frac{1}{2016}$
• C． -$\frac{1}{2017}$
• D． $\frac{1}{2017}$

Answer 1

分析 a₁=-1，a_n+1=S_nS_n+1，可得S_n+1-S_n=S_nS_n+1，变形为$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，再利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a₁=-1，a_n+1=S_nS_n+1，
∴S_n+1-S_n=S_nS_n+1，
∴$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，
∴数列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差数列，首项与公差都为-1．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1-（n-1）=-n，
∴S_n=-$\frac{1}{n}$．
S₂₀₁₆=-$\frac{1}{2016}$．
故选：A．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．