Question

15．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂=4，S₅=30
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n
（2）设数列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n项和为T_n，求证：$\frac{1}{8}$≤T_n＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₂=4，S₅=30，可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=4}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=30}\end{array}\right.$，联立解出即可得出．
（2）$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出．

解答 （1）解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₂=4，S₅=30，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=4}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=30}\end{array}\right.$，解得a₁=d=2．∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（2）证明：$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n项和为T_n=$\frac{1}{4}$$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{1}{4}$$（1-\frac{1}{n+1}）$，
∴T₁≤T_n$＜\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{8}$≤T_n＜$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．