Question

已知函数（）．
（1）求函数的单调区间；
（2）函数在定义域内是否存在零点？若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由；
（3）若，当时，不等式恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为；（2）当时，函数有两个不同的零点；当时，函数有且仅有一个零点；当时，函数没有零点；（3）的取值范围是．

试题分析：（1）首先求导：，再根据导数的符号确定其单调性．时，函数单调递增；时，函数单调减；（2）首先分离参数.由，得.令（），下面就利用导数研究函数性质，然后结合图象便可得知的零点的个数；（3）注意是一个确定的函数，为了弄清何时成立，首先弄清与的大小关系，然后利用（1）题的结果即可知道， 取何值时在上恒成立.
（1）由，则．
当时，对，有，所以函数在区间上单调递增；
当时，由，得；由，得，
此时函数的单调增区间为，单调减区间为．
综上所述，当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为． 4分
（2）函数的定义域为，由，得（）， 5分
令（），则， 6分
由于，，可知当，；当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，故． 7分
又由（1）知当时，对，有，即，
（随着的增长，的增长速度越越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越越慢．则当且无限接近于0时，趋向于正无穷大.）
当时，函数有两个不同的零点；
当时，函数有且仅有一个零点；
当时，函数没有零点． 9分
（3）由（2）知当时，，故对，
先分析法证明：，． 10分
要证，，
只需证，
即证，
构造函数，则，
故函数在单调递增，所以，则成立． 12分
当时，由（1），在单调递增，则在上恒成立；
当时，由（1），函数在单调递增，在单调递减，
故当时，，所以，则不满足题意．
所以满足题意的的取值范围是． 14分