Question

已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数上是减函数，求实数a的最小值；
(3)若，使成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

(1) 单调减区间是,增区间是;(2); (3)．

试题分析：(1)对求导函数后，解不等式可得单调区间；（2）由题知在上恒成立，即，可得，所以得的取值范围；（3）原命题等价于当时，有对进行讨论，利用函数单调性可得的范围．
解：由已知函数的定义域均为,且．  1分
(1)函数,
当且时,;当时,．
所以函数的单调减区间是,增区间是．  3分
(2)因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．
所以当时，．
又，
故当，即时，．
所以于是，故a的最小值为．  6分
(3)命题“若使成立”等价于
“当时，有”．       
由（Ⅱ），当时，，．
问题等价于：“当时，有”．     8分
当时，由（Ⅱ），在上为减函数，
则=，故．     
当时，由于在上为增函数，
故的值域为，即．
(i)若，即，在恒成立，故在上为增函数，
于是，=，不合题意．        10分
(ii)若，即，由的单调性和值域知，
唯一，使，且满足：
当时，，为减函数；当时，，为增函数；
所以，=，．
所以，，与矛盾，不合题意．
综上，得．                   14分