Question

已知二次函数f（x）=x²-16x+p+3．
（1）若函数在区间[-1，1]上存在零点，求实数p的取值范围；
（2）问是否存在常数q（q≥0），当x∈[q，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12-q．（注：区间[a，b]（a＜b）的长度为b-a）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据解析式判断f（x）在区间[-1，1]上递减，由函数零点的几何意义知f（-1）•f（1）≤0，再代入方程后求不等式得解集，即是p的范围；
（2）先假设存在常数q（q≥0）满足题意，根据对称轴和区间[q，10]的关系进行分类，再根据每种情况中的二次函数图象求出函数的值域，利用区间长度求出q的值，注意验证是否在确定的范围内．
解答：解：（1）∵二次函数f（x）=x²-16x+p+3的对称轴是x=8，
∴函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减，
则函数f（x）在区间[-1，1]上存在零点须满足f（-1）•f（1）≤0．
即（1+16+p+3）（1-16+p+3）≤0，解得-20≤p≤12．
（2）假设存在常数q（q≥0）满足题意，分三种情况求解：
①当时，即0≤q≤6时，
当x=8时，取到最小值f（8）；当x=q时，取到最大值f（q），
∴f（x）的值域为：[f（8），f（q）]，即[p-61，q²-16q+p+3]．
∴区间长度为q²-16q+p+3-（p-61）=q²-16q+64=12-q．
∴q²-15q+52=0，∴，经检验不合题意，舍去，故．
②当时，即6≤q＜8时，
当x=8时，取到最小值f（8）；当x=10时，取到最大值f（10），
∴f（x）的值域为：[f（8），f（10）]，即[p-61，p-57]
∴区间长度为p-57-（p-61）=4=12-q，∴q=8．经检验q=8不合题意，舍去．
③当q≥8时，函数f（x）在[q，10]上单调递增，
∴f（x）的值域为：[f（q），f（10）]，即[q²-16q+p+3，p-57]．
∴区间长度为p-57-（q²-16q+p+3）=-q²-16q-60=12-q，
∴q²-17q+72=0，∴q=8或q=9．经检验q=8或q=9满足题意．
综上知，存在常数q=8或q=9，
当x∈[q，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12-q．
点评：本题考查了函数零点的几何意义和在给定区间上求二次函数的值域，特别是区间含有参数时，要讨论对称轴和区间的位置关系并由此进行分类，是综合性强和计算量大的题．