Question

2．设0＜a＜1，数列{a_n}的前n项和为S_n，已知数列{log_aS_n}是首项为0，公差为1的等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设a_n与a_n+2的等差中项为A，比较A与a_n+1的大小．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的通项公式先求出S_n=a^n-1，然后根据项和和之间的关系即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出A，利用作差法进行比较即可得到结论．

解答 解：（1）∵数列{log_aS_n}是首项为0，公差为1的等差数列，
∴log_aS_n=0+n-1=n-1，
则S_n=a^n-1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=a^n-1-a^n-2=（a-1）a^n-2，
当n=1时，log_aS₁=0，即S₁=a₁=1，
即数列{a_n}的通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{（a-1）{a}^{n-2}，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（2）∵a_n与a_n+2的等差中项为A，
∴A=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{2}$，
当n=1时，A-a_n+1=$\frac{{a}_{1}+{a}_{3}}{2}$-a₂=$\frac{{a}^{2}-3a+3}{2}$=$\frac{1}{2}$[（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$]$≥\frac{3}{8}$＞0，此时A＞a_n+1．
当n≥2时，A-a_n+1=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{2}$-a_n+1=$\frac{（a-1）{a}^{n-2}+（a-1）{a}^{n}}{2}$-（a-1）a^n-1
=$\frac{（a-1）{a}^{n-2}（{a}^{2}-2a+1）}{2}$=$\frac{（a-1）^{3}{a}^{n-2}}{2}$．
若0＜a＜1，则A-a_n+1＜0．
综上可得，当n=1时，A＞a_n+1；
当n≥2时，若0＜a＜1，则A＜a_n+1，

点评 本题主要考查数列的通项公式，结合等差数列的通项公式求出数列的前n项和是解决本题的关键．