Question

10．若（2x-$\frac{1}{x}$）ⁿ展开式中含$\frac{1}{{x}^{2}}$项的系数与含$\frac{1}{{x}^{4}}$项的系数之比为-5，求n．

Answer 1

分析 根据二项式展开式的通项公式T_r+1，求出展开式中含$\frac{1}{{x}^{2}}$项的系数与展开式中含$\frac{1}{{x}^{4}}$项的系数，再列出方程，求出n的值．

解答 解：∵（2x-$\frac{1}{x}$）ⁿ展开式的通项公式为：
T_r+1=${C}_{n}^{r}$•（2x）^n-r•${（-\frac{1}{x}）}^{r}$=（-1）^r•${C}_{n}^{r}$•2^n-r•x^n-2r，
令n-2r=-2，解得r=$\frac{n}{2}$+1，
∴展开式中含$\frac{1}{{x}^{2}}$项的系数为${（-1）}^{\frac{n}{2}+1}$•${C}_{n}^{\frac{n}{2}+1}$•${2}^{\frac{n}{2}-1}$；
再令n-2r=-4，解得r=$\frac{n}{2}$+2，
∴展开式中含$\frac{1}{{x}^{4}}$项的系数为${（-1）}^{\frac{n}{2}+2}$•${C}_{n}^{\frac{n}{2}+2}$•${2}^{\frac{n}{2}-2}$；
∴${（-1）}^{\frac{n}{2}+1}$•${C}_{n}^{\frac{n}{2}+1}$•${2}^{\frac{n}{2}-1}$=-5×${（-1）}^{\frac{n}{2}+2}$•${C}_{n}^{\frac{n}{2}+2}$•${2}^{\frac{n}{2}-2}$，
∴${C}_{n}^{\frac{n}{2}+1}$=$\frac{5}{2}$${C}_{n}^{\frac{n}{2}+2}$；
即$\frac{n!}{（\frac{n}{2}-1）!•（\frac{n}{2}+1）!}$=$\frac{5}{2}$×$\frac{n!}{（\frac{n}{2}-2）!•（\frac{n}{2}+2）!}$，
$\frac{1}{\frac{n}{2}-1}$=$\frac{5}{2}$×$\frac{1}{\frac{n}{2}+2}$，
解得n=6．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了二项式通项公式的灵活应用问题，是基础题目．