Question

20．已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26，{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}-1}$（n∈N^*），记数列{b_n}的前n项和为T_n．求证：T_n＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式与前n项和公式即可得出；
（II）由b_n=$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂项求和”与“放缩法”即可证明．

解答 （I）解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃=7，a₅+a₇=26，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=7}\\{2{a}_{1}+10d=26}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n．
（II）证明：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$$＜\frac{1}{4}$．
∴${T}_{n}＜\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式、“裂项求和”与“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．