Question

9．已知F₁（-c，0），F₂（c，0）为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆上一点且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=c²，则此椭圆离心率的取值范围是[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 利用椭圆的定义、余弦定理、向量的数量积公式，结合基本不等式，即可求出椭圆离心率的取值范围．

解答 解：由椭圆定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a，①
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=c²，
∴|PF₁||PF₂|cos∠F₁PF₂=c²，②
由余弦定理可得|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos∠F₁PF₂=4c²，③
由①②③得cos∠F₁PF₂=$\frac{{c}^{2}}{2{a}^{2}-3{c}^{2}}$≤1，|PF₁||PF₂|=2a²-3c²，
∴e≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵|PF₁||PF₂|≤$\frac{1}{4}$（|PF₁|+|PF₂|）²=a²，
∴2a²-3c²≤a²，
∴e≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴此椭圆离心率的取值范围是[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．
故答案为：[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

点评 本题考查椭圆离心率的取值范围，考查椭圆的定义、余弦定理、向量的数量积公式、基本不等式，属于中档题．