Question

17．如果关于x的不等式（1-m²）x²-（1+m）x-1＜0的解集是R，则实数m的取值范围是m≤-1或m＞$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 讨论m的取值，当m=1、-1以及m≠±1时，不等式的解集情况，求出满足题意的实数m的取值范围．

解答 解：令1-m²=0，解得m=±1；
当m=1，不等式化为-2x-1＜0，不满足题意；
当m=-1时，不等式化为-1＜0，满足条件；
当m≠±1时，根据题意得，
$\left\{\begin{array}{l}{1{-m}^{2}＜0}\\{{（1+m）}^{2}-4（1{-m}^{2}）•（-1）＜0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m＜-1或m＞1}\\{m＜-1或m＞\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
即m＜-1，或m＞$\frac{5}{3}$
综上，实数m的取值范围是m≤-1或m＞$\frac{5}{3}$．
故答案为：m≤-1或m＞$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了含有字母系数的不等式的恒成立问题，解题时应对字母系数进行讨论，是基础题目．