Question

6．已知正实数a，b满足：a²+b²=2$\sqrt{ab}$．
（Ⅰ）求$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值m；
（Ⅱ）设函数f（x）=|x-t|+|x+$\frac{1}{t}$|（t＞0），对于（Ⅰ）中求得的m，是否存在实数x使f（x）=$\frac{m}{2}$成立，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由基本不等式可得2ab≤a²+b²=2$\sqrt{ab}$；从而可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≥$\frac{2}{\sqrt{ab}}$≥2；
（Ⅱ）由绝对值的定义可得函数f（x）=|x-t|+|x+$\frac{1}{t}$|≥|t+$\frac{1}{t}$|≥2＞$\frac{m}{2}$=1，从而判断．

解答 解：（Ⅰ）∵2ab≤a²+b²=2$\sqrt{ab}$；
∴$\sqrt{ab}$≤1（当且仅当a=b时，等号成立）；
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≥$\frac{2}{\sqrt{ab}}$≥2（当且仅当a=b时，等号成立）；
∴m=2；
（Ⅱ）∵函数f（x）=|x-t|+|x+$\frac{1}{t}$|≥|t+$\frac{1}{t}$|≥2＞$\frac{m}{2}$=1，
∴满足条件的实数x不存在．

点评 本题考查了基本不等式的应用及绝对值不等式的应用，属于基础题．