Question

12．若数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{n+1}{n}$a_n（n∈N^*）．
（1）计算a₂，a₃，a₄的值，并由此猜想出{a_n}的一个通项公式；
（2）运用数学归纳法或其他证明方法证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）利用a₁=1，a_n+1=$\frac{n+1}{n}$a_n，代入计算，可得a₂，a₃，a₄的值，并由此猜想出{a_n}的一个通项公式；
（2）由a_n+1=$\frac{n+1}{n}$a_n，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，利用叠乘法证明猜想．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=$\frac{n+1}{n}$a_n，
∴a₂=2，a₃=3，a₄=4，
猜想a_n=n；
（2）∵a_n+1=$\frac{n+1}{n}$a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，
∴a_n=a₁•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•…•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=1•$\frac{2}{1}•\frac{3}{2}•$…•$\frac{n}{n-1}$=n．

点评 本题考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，正确运用叠乘法是关键．