Question

【题目】已知函数，其中．

（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，其中是自然对数的底数，求的值：

（Ⅱ）若函数是内的减函数，求正数的取值范围；

（Ⅲ）若方程无实数根，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）；（Ⅲ）或．

【解析】

（Ⅰ）先对函数求导，然后根据导数的几何意义及已知切线方程即可求解；

（Ⅱ）结合导数与单调性的关系可转化为在内恒成立，结合函数的性质可求；

（Ⅲ）结合导数及函数的性质，进行合理的转化后结合导数可求．

解：（Ⅰ）已知，

，

由曲线在点处的切线方程为，

可得，得，

则，，

解得：.

（Ⅱ）若函数是内的减函数，

则在内恒成立，

令，则，

①时，，在上单调递增，

所以，

②若，当，，单调递增，

所以，

③时，时，，单调递减，

，

综上，时，满足题意；

（Ⅲ）由可得，

若，则是方程的根，故，

若，则无实根，

若，令，则，

方程可化为即，

令，则，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以，

若没有实根，则，

解得：或，

综上：或.