Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）用表示中的最大值，设函数，讨论零点的个数.

Answer 1

【答案】(1) 当时，在上单调递增；当时，在区间上单调递减，在单调递增；(2) 当时，在上无零点；当或时，在上有一个零点；当时，在上有两个零点.

【解析】

（1）对参数进行分类讨论，即可由导数的正负判断函数的单调性；

（2）根据的定义，利用导数分区间讨论在上的零点分布情况.

（1），故可得，

当时，在上恒成立，故此时在上单调递增；

当时，令，解得，

故容易得在区间上单调递减，在单调递增.

综上所述：当时，在上单调递增；

当时，在区间上单调递减，在单调递增.

（2）①当时，，，

显然此时没有零点；

②当时，，

若，，故是的零点；

若，，故不是的零点；

③当时，，所以在上的零点个数，

即为在上的零点个数.

在上的零点个数，等价于在上实数根的个数.

令，故可得，

故容易得在区间单调递减，在单调递增.

且.

故当或时，在没有零点；

当或，在有一个零点；

当时，在有个零点.

综上所述：当时，在上无零点；当或时，在上有一个零点；当时，在上有两个零点.