Question

【题目】已知函数的图象在处的切线方程为.

（1）讨论函数的单调性.

（2）是否存在正实数，使得函数的定义域为时，值域也为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）存在；

【解析】

(1)先对函数进行求导，根据已知条件在处的切线方程为可求出，，即得到，再对进行求导，对参数进行讨论即可.

(2)先假设存在符合题意的正实数，再对进行求导，可得到它的单调性以及单调区间，从而可求得的最小值大于或等于零即可.

解：（1）∵，∴.

又∵，∴，∴.

∴，∴.

当时，，在上单调递减；

当时，令，得.

令，得，

故在上单调递增，在上单调递减.

（2）假设存在符合题意的正实数，

由，得.

∵在上单调递增，在上单调递减，

∴函数在上单调递增.

∵，且当时，，

∴存在唯一的实数，使得，即①，

∴当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

∴.

由，得，

∴

.

当且仅当时取等号，由，得，此时，

把，代入①也成立.

故存在正实数，使得定义域为时，值域也为.