Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论在区间上的单调性；

（2）若时，，求整数的最小值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

（1）分别在、和三种情况下，根据导函数的正负得到原函数的单调区间；

（2）将问题转化为在上恒成立，则，结合零点存在定理可确定的最大值为，，利用导数可求得其值域，进而得到整数的最小值.

（1）由题意得：，

令，则，

当，即时，，，在上单调递增；

当，即或时，

令，解得：，，

当时，，

当时，；当时，，

在上单调递减，在上单调递增；

当时，，

当时，；当和时，，

在，上单调递增，在上单调递减；

综上所述：当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）由得：在上恒成立，

令，则，

令，则，，

，在区间上存在零点，

设零点为，则，

当时，；当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

，，

设，则，

上单调递增，，即，

整数的最小值为.