Question

如图，点B在以PA为直径的圆周上，点C在线段AB上，已PA=5，PB=3，PC=

15 2

7

，设∠APB=α，∠APC=β，α，β均为锐角．
（1）求β；
（2）求向量

AC

，

PC

的数量积

AC

•

PC

的值．

Answer 1

分析：（1）据圆周角为直角，通过解直角三角形及两角和的余弦公式及正余弦的平方公式求出α，α-β的正切，求出β的正切得角β．
（2）将未知向量

AC

用已知向量

PC

，

PA

表示，利用向量的分配律求出数量积．

解答：解：（1）：因为点B在以PA为直径的圆周上，所以∠ABP=90°，
所以cosα=

PB

PA

=

3

5

，sinα=

4

5

．
所以tanα=

4

3

，
cos∠CPB=cos(α-β)=

PB

PC

=

3

15 2 7

=

7 2

10

，sin(α-β)=

2

10

，
所以tan(α-β)=

1

7

，
tanβ=tan[α-(α-β)]=

tanα-tan(α-β)

1+tanαtan(α-β)

=1，
又β∈(0，

π

2

)，所以β=

π

4

．
（2）

AC

•

PC

=(

PC

-

PA

)•

PC

=

PC

2-

PA

•

PC

=(

15 2

7

)2-5×

15 2

7

×

2

2

=-

75

49

故答案为β=

π

4

；

AC

•

PC

=-

75

49

点评：本题考查解直角三角形；通过三角函数值求角；平面向量的基本定理；向量数量积的运算律等．