Question

12．从抛物线G：x²=2py（p为常数且p＞0）外一点P引抛物线G的两条切线PA和PB（切点为A、B），分别与x轴相交于点C、D，若AB与y轴相交于点Q．
（1）求证：四边形PCQD是平行四边形；
（2）四边形PCQD能否为矩形？若能，求出点Q的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）设A，B的坐标，求出切线PA，PB的方程，解出P点坐标，设Q坐标和直线AB方程，联立方程组得出P，Q点的坐标关系证明CD平分PQ，求出C，D坐标，得出CD的中点，代入PQ方程即可得出PQ平分CD，于是得出结论；
（II）若四边形PCQD能否为矩形，则|PQ|=|CD|，列方程解出p，t的关系得出Q坐标．

解答 解：（I）由x²=2py得y=$\frac{{x}^{2}}{2p}$，∴y′=$\frac{x}{p}$．
设A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2p}$），则直线PA的方程为y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}$=$\frac{{x}_{1}}{p}$（x-x₁），①
直线PB的方程为y-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2p}$=$\frac{{x}_{2}}{p}$（x-x₂），②
由①、②解得x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2p}$，∴P点坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2p}$）．
设点Q（0，t），则直线AB的方程为y=kx+t．
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2py}\\{y=kx+t}\end{array}\right.$得x²-2pkx-2pt=0，则x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-2pt，
∴P（pk，-t），∴线段PQ被x轴平分，即被线段CD平分．
在①中，令y=0，解得x=$\frac{{x}_{1}}{2}$，∴C（$\frac{{x}_{1}}{2}$，0）；同理得D（$\frac{{x}_{2}}{2}$，0），
∴线段CD的中点坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$，0），即（$\frac{pk}{2}$，0）．
又∵直线PQ的方程为y=-$\frac{2t}{pk}$x+t，∴线段CD的中点（$\frac{pk}{2}$，0）在直线PQ上，即线段CD被线段PQ平分，
∴四边形PCQD是平行四边形．
（II）若四边形PCQD是矩形，则|PQ|=|CD|，即$\sqrt{{p}^{2}{k}^{2}+4{t}^{2}}$=$\sqrt{\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{4}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{4{p}^{2}{k}^{2}+8pt}$，解得t=$\frac{p}{2}$．
∴当点Q为（0，$\frac{p}{2}$）（即抛物线G的焦点）时，四边形PCQD为矩形．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．