Question

1．已知函数f（x）=ae^xx-2ae^x-$\frac{1}{2}$x²+x．
（1）求函数f（x）在（2，f（2））处切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调区间；
（3）对任意x₁，x₂∈[0，1]，f（x₂）-f（x₁）≤a+1恒成立，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；
（2）求出f（x）的导数f′（x）=（x-1）（ae^x-1），对a讨论，分a≤0时，a=$\frac{1}{e}$时，a＞$\frac{1}{e}$时，0＜a＜$\frac{1}{e}$时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0可得减区间；
（3）通过讨论a的范围，确定函数在闭区间[0，1]上的单调性，求出f（x）在[0，1]上的最大值和最小值，解关于a的不等式，求出即可．

解答 解：（1）函数f（x）=ae^xx-2ae^x-$\frac{1}{2}$x²+x的导数为：
f′（x）=a（e^x+xe^x）-2ae^x-x+1=（x-1）（ae^x-1），
可得f（x）在（2，f（2））处切线斜率为ae²-1，切点为（2，0），
即有切线的方程为y-0=（ae²-1）（x-2），
即为y=（ae²-1）（x-2）；
（2）由f（x）的导数为f′（x）=（x-1）（ae^x-1），
①当a=0时，f′（x）=-（x-1），
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；
②当a＜0时，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；
③当a＞0时，若a=$\frac{1}{e}$，则f′（x）=（x-1）（e^x-1-1），
f（x）在R上递增；
若a＞$\frac{1}{e}$，则f′（x）＞0即为（x-1）（x-ln$\frac{1}{a}$）＞0，可得x＞1或x＜ln$\frac{1}{a}$；
f′（x）＜0即为（x-1）（x-ln$\frac{1}{a}$）＜0，可得ln$\frac{1}{a}$＜x＜1；
若0＜a＜$\frac{1}{e}$，则f′（x）＞0即为（x-1）（x-ln$\frac{1}{a}$）＞0，可得x＜1或x＞ln$\frac{1}{a}$；
f′（x）＜0即为（x-1）（x-ln$\frac{1}{a}$）＜0，可得1＜x＜ln$\frac{1}{a}$．
综上可得，a≤0时，f（x）的增区间为（-∞，1），减区间为（1，+∞）；
a=$\frac{1}{e}$时，f（x）的增区间为R；
a＞$\frac{1}{e}$时，f（x）的增区间为（1，+∞），（-∞，ln$\frac{1}{a}$），
减区间为（ln$\frac{1}{a}$，1）；
0＜a＜$\frac{1}{e}$时，f（x）的增区间为（ln$\frac{1}{a}$，+∞），（-∞，1），减区间为（1，ln$\frac{1}{a}$）；
（3）由（2）得：①a≤0时，f（x）在[0，1]递增，
f（x）_max=f（1）=$\frac{1}{2}$-ae，f（x）_min=f（0）=-2a，
∴$\frac{1}{2}$-ae+2a≤a+1，解得：$\frac{1}{2（1-e）}$≤a≤0，
②0＜a≤$\frac{1}{e}$时，ln$\frac{1}{a}$＞1，∴f（x）在[0，1]递增，
f（x）_max=f（1）=$\frac{1}{2}$-ae，f（x）_min=f（0）=-2a，
∴$\frac{1}{2}$-ae+2a≤a+1，解得：$\frac{1}{2（1-e）}$≤a，故0＜a≤$\frac{1}{e}$符合题意，
③$\frac{1}{e}$＜a＜1时，0＜ln$\frac{1}{a}$＜1，f（x）在[0，ln$\frac{1}{a}$）递增，在（ln$\frac{1}{a}$，1]递减，
而f（1）-f（0）=$\frac{1}{2}$+a（2-e）＜0，∴f（x）_max=f（ln$\frac{1}{a}$）=，f（x）_min=f（1）=$\frac{1}{2}$-ae，
∴2ln$\frac{1}{a}$-2-$\frac{1}{2}$${（ln\frac{1}{a}）}^{2}$+ae-$\frac{1}{2}$）≤a+1，不等式无解，
④a≥1时，f（x）在[0，1]递减，
∴f（x）_max=f（0）=-2a，f（x）_min=f（1）=$\frac{1}{2}$-ae，
∴-2a+ae-$\frac{1}{2}$≤a+1，解得：a≥-$\frac{3}{2（3-e）}$，
综上，a∈[$\frac{1}{2（1-e）}$，$\frac{1}{e}$]∪[1，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，注意运用分类讨论的思想方法，考查化简整理的运算能力，是一道综合题．