Question

10．设数列{a_n}的前n项和为S_n，并且满足2S_n=a_n²+n，a_n＞0（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）猜想{a_n}的通项公式，并加以证明；
（Ⅲ）设b_n=$\frac{1}{{{a_n}^3}}$，求证：b₁+b₂+…+b_n＜$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由2S_n=a_n²+n，a_n＞0（n∈N^*）．分别令n=1，2，3，即可得出；
（Ⅱ）猜想：a_n=n，利用数学归纳法即可证明．
（III）${b_n}=\frac{1}{{{a_n}^3}}=\frac{1}{n^3}$，可得$n≥2，\frac{1}{n^3}＜\frac{1}{{{n^3}-n}}=\frac{1}{（n-1）n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$$[\frac{1}{（n-1）n}-\frac{1}{n（n+1）}]$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由2S_n=a_n²+n，a_n＞0（n∈N^*）．
分别令n=1，2，3，得$\left\{\begin{array}{l}2{a_1}=a_1^2+1\\ 2（{a_1}+{a_2}）=a_2^2+2\\ 2（{a_1}+{a_2}+{a_3}）=a_3^2+3\end{array}\right.$
∵a_n＞0，∴a₁=1，a₂=2，a₃=3．
（Ⅱ）解：猜想：a_n=n，
由   $2{S_n}=a_n^2+n$①
可知，当n≥2时，$2{S_{n-1}}=a_{n-1}^2+（n-1）$②
①-②，得  $2{a_n}=a_n^2-a_{n-1}^2+1$，即$a_n^2=2{a_n}+a_{n-1}^2-1$．
下面利用数学归纳法证明：
（1）当n=2时，$a_2^2=2{a_2}+{1^2}-1$，∵a₂＞0，∴a₂=2；．
（2）假设当n=k（k≥2）时，a_k=k．
那么当n=k+1时，$a_{k+1}^2=2{a_{k+1}}+a_k^2-1$=$2{a_{k+1}}+{k^2}-1$，
∴[a_k+1-（k+1）][a_k+1+（k-1）]=0，
∵a_k+1＞0，k≥2，∴a_k+1+（k-1）＞0，
∴a_k+1=k+1．
这就是说，当n=k+1时也成立，
∴a_n=n（n≥2）．显然n=1时，也适合．
故对于n∈N*，均有a_n=n．
（III）证明：${b_n}=\frac{1}{{{a_n}^3}}=\frac{1}{n^3}$，∵$n≥2，\frac{1}{n^3}＜\frac{1}{{{n^3}-n}}=\frac{1}{（n-1）n（n+1）}$，
∴${b_1}+{b_2}+…{b_n}=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{n^3}＜1+\frac{1}{1×2×3}+\frac{1}{2×3×4}+…+\frac{1}{（n-1）n（n+1）}$=$1+\frac{1}{2}[（\frac{1}{1×2}-\frac{1}{2×3}）+（\frac{1}{2×3}-\frac{1}{3×4}）+…+（\frac{1}{（n-1）n}-\frac{1}{n（n+1）}）]$=$1+\frac{1}{2}[\frac{1}{2}-\frac{1}{n（n+1）}]＜\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了递推关系、数学归纳法、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．