Question

19．已知函数f（x）=3x²-2x，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）都在函数图象上，令b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，T_n为数列{b_n}的前n项和，使得T_n＜$\frac{m}{20}$对任意的n∈N^*恒成立的最小正整数m为4．

Answer 1

分析 点（n，S_n）都在函数f（x）图象上，可得S_n=3n²-2n，利用递推关系可得：a_n=6n-5．可得b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（6n-5）（6n+1）}$=$\frac{1}{6}（\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}）$，利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可得出．

解答 解：∵点（n，S_n）都在函数f（x）图象上，
∴S_n=3n²-2n，
n=1时，a₁=1．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5．n=1时成立．
∴a_n=6n-5．
∴b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（6n-5）（6n+1）}$=$\frac{1}{6}（\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{6}$$[（1-\frac{1}{7}）+（\frac{1}{7}-\frac{1}{13}）$+…+$（\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}）]$
=$\frac{1}{6}（1-\frac{1}{6n+1}）$．
由$\frac{1}{6}（1-\frac{1}{6n+1}）$＜$\frac{m}{20}$对任意的n∈N^*恒成立，
∴m≥20×$\frac{1}{6}$
∴满足最小正整数m为4．
故答案为：4．

点评 本题考查了递推关系、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．