Question

已知数列{a_n}，{b_n}，且满足a_n+1-a_n=b_n（n=1，2，3，…）．
（1）若a₁=0，b_n=2n，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n+1+b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．记c_n=a_6n-1（n≥1），求证：数列{c_n}为常数列；
（3）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．若数列{}中必有某数重复出现无数次，求首项a₁应满足的条件．

Answer 1

解：（1）当n≥2时，有
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1
=2×1+2×2+…+2×（n-1）
=2×=n²-n，又当n=1时此式也成立．
∴数列{a_n}的通项为．
（2）∵b_n+1+b_n-1=b_n（n≥2），
∴对任意的n∈N^*有b_n+6=b_n+5-b_n+4=-b_n+3=b_n+1-b_n+2=b_n，
∴数列{b_n}是一个以6为周期的循环数列
又∵b₁=1，b₂=2，
∴b₃=b₂-b₁=1，b₄=b₃-b₂=-1，b₅=b₄-b₃=-2，b₆=b₅-b₄=-1．
∴c_n+1-c_n=a_6n+5-a_6n-1=a_6n+5-a_6n+4+a_6n+4-a_6n+3+…+a_6n-a_6n-1
=b_6n+4+b_6n+3+b_6n+2+b_6n+1+b_6n+b_6n-1=b₄+b₃+b₂+b₁+b₆+b₅
=-1+1+2+1-1+-2=0（n≥1），
所以数列{c_n}为常数列．
（3）∵b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2，
∴b₃=2，b₄=1，，，
且对任意的n∈N^*，有=，
设c_n=a_6n+i（n≥0），（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}，
∴c_n+1-c_n=a_6n+6+i-a_6n+i=b_6n+i+b_6n+i+1+b_6n+i+2+b_6n+i+3+b_6n+i+4+b_6n+i+5
=b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+b₆
=1+2+2+1+=7（n≥0）．
所以数列{a_6n+i}均为以7为公差的等差数列．
记，则==，
（其中n=6k+i，k≥0，i为{1，2，3，4，5，6}中的一个常数），
当时，对任意的n=6k+i有；
当时，f_k+1-f_k=
=
=，
①若，则对任意的k∈N有f_k+1＜f_k，数列{}为单调减数列；
②若，则对任意的k∈N有f_k+1＞f_k，数列{}为单调增数列；
综上，当且i∈{1，2，3，4，5，6}时，数列{}中必有某数重复出现无数次
当i=1时，符合要求；当i=2时，符合要求，
此时的；
当i=3时，符合要求，
此时的，；
当i=4时，=符合要求，
此时的；
当i=5时，符合要求，
此时的；
当i=6时，符合要求，
此时的a₁=a₆-b₅-b₄-b₃-b₂-b₁=；
即当a₁∈{，，，，}时，
数列{}中必有某数重复出现无数次．
分析：（1）利用“累加求和”和等差数列的前n项和公式即可求出；
（2）通过已知条件先探究数列{b_n}是一个以6为周期的循环数列，进而即可证明数列{c_n}为常数列．
（3）由条件探索出：数列{a_6n+i}均为以7为公差的等差数列，求出，及其单调性，通过对a_i分类讨论即可得出结论．
点评：熟练掌握等差数列的前n项和公式、“累加求和”、探究数列{b_n}是一个以6为周期的循环数列、数列{a_6n+i}均为以7为公差的等差数列，求出并探究其单调性是解题的关键．注意分类讨论思想方法的运用，本题较好的考查了学生的探究能力和计算能力，本题有一点的难度．