Question

已知椭圆C₁的中心为原点O，离心率e=

2

2

，其一个焦点在抛物线C₂：y²=2px的准线上，若抛物线C₂与直线l：x-y+

2

=0相切．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）当点Q（u，v）在椭圆C₁上运动时，设动点P（2v-u，u+v）的运动轨迹为C₃．若点T满足：

OT

=

MN

+2

OM

+

ON

，其中M，N是C₃上的点，直线OM与ON的斜率之积为-

1

2

，试说明：是否存在两个定点F₁，F₂，使得|TF₁|+|TF₂|为定值？若存在，求F₁，F₂的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）先确定抛物线的方程，再求出该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）先确定运动轨迹为C₃的方程，由

OT

=

MN

+2

OM

+

ON

得M，N，P坐标之间的关系，根据直线OM与ON的斜率之积为-

1

2

，可知：T点是椭圆

x2

60

+

y2

30

=1上的点，即可得出结论．

解答： 解：（I）由

y2=2px x-y+ 2 =0

⇒y2-2py+2

2

p=0，
∵抛物线C₂：y²=2px与直线l：x-y+

2

=0相切，
∴△=4p2-8

2

p=0⇒p=2

2

…（2分）
∴抛物线C₂的方程为：y2=4

2

x，其准线方程为：x=-

2

，
∴c=

2

．
∵离心率e=

2

2

，
∴e=

c

a

=

2

2

，
∴a=2，b²=a²-c²=2，
故椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

2

=1．…（5分）
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x'，y'），T（x，y）
则

x′=2v-u y′=u+v

⇒

u= 1 3 (2y′-x′) v= 1 3 (x′+y′)

，
∵当点Q（u，v）在椭圆C₁上运动时，动点P（2v-u，u+v）的运动轨迹C₃，
∴

u2

4

+

v2

2

=1⇒[

1

3

(2y′-x′)]2+2[

1

3

(x′+y′)]2=4，
∴x'²+2y'²=12，
∴C₃的轨迹方程为：x²+2y²=12…（7分）
由

OT

=

MN

+2

OM

+

ON

得（x，y）=（x₂-x₁，y₂-y₁）+2（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（x₁+2x₂，y₁+2y₂），
∴x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂．
设k_OM，k_ON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知kOM•kON=

y1y2

x1x2

=-

1

2

，
因此x₁x₂+2y₁y₂=0，…（9分）
∵点M，N在椭圆x²+2y²=12上，
∴

x

2 1

+2

y

2 1

=12，

x

2 2

+2

y

2 2

=12，
故x2+2y2=(

x

2 1

+4

x

2 2

+4x1x2)+2(

y

2 1

+4

y

2 2

+4y1y2)
=(

x

2 1

+2

y

2 1

)+4(

x

2 2

+2

y

2 2

)+4(x1x2+2y1y2)=60+4(x1x2+2y1y2)．
∴x²+2y²=60，从而可知：T点是椭圆

x2

60

+

y2

30

=1上的点，
∴存在两个定点F₁，F₂，且为椭圆

x2

60

+

y2

30

=1的两个焦点，使得|TF₁|+|TF₂|为定值，其坐标为F1(-

30

，0)，F2(

30

，0)．       …（13分）

点评：本题考查椭圆、抛物线的标准方程，考查代入法求轨迹方程，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．